ЧИСЛА
Числа, употребляемые при счете предметов, называют натуральными (1,2,3,4…..)
Натуральные числа, противоположные им и нуль называют целыми числами.
(… -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4….)
Рациональной дробью а/b называют упорядоченную пару (а, b) целых чисел а и b, у которой b≠0.
Числа, которые нельзя представить в виде отношения двух целых чисел а/b, называют иррациональными.
Объединение рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел.
Комплексным числом z называют число вида х+iy, где х, y – рациональные числа, а i удовлетворяет условию i2=-1.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число. Составным называют такое натуральное число, которое имеет более двух натуральных делителей. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, т. к. оно имеет лишь один натуральный делитель: само это число.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
- На 2 делятся все те и только те натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой.
- На 3 делятся все те и только те натуральные числа, сумма всех цифр которых делится на 3.
- На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры в записи которых образуют число, делящееся на 4.
- На 5 делятся те и только те натуральные числа, запись которых оканчивается нулем или цифрой пять.
- На 9 делятся те и только те натуральные числа, сумма всех цифр которых делится на 9.
- На 10 делятся те и только те натуральные числа, запись которых оканчивается нулем.
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
- Переместительный закон сложения:
a + b = b + a.
- Сочетательный закон сложения:
(a + b) + c = a + (b + c).
- Для любого числа a существует противоположное число – a такое, что
a + (- a) = 0
- Существует число 0 (нуль) такое, что для любого a
a + 0 = a
- Переместительный закон умножения:
ab = ba.
- Сочетательный закон умножения:
(ab) c = a (bc ).
- Существует число 1 (единица) такое, что для любого a
a х 1 = a.
- Для любого числа a, отличного от нуля, существует обратное число 1/а такое, что
a х 1/a = 1.
(a + b) c = ac + bc.
РАВЕНСТВА.
Если два выражения А и В соединить знаком «=», то получим запись А=В, называемую равенством. Когда обе части равенства обозначают числа, то оно называется числовым.Верное числовое равенство – это такое равенство, в котором обе части обозначают одно и то же число.
СВОЙСТВО 1. Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного числового равенства вычисть одно и то же число, то получится верное числовое равенство.
СВОЙСТВО 2. Если обе части верного числового равенства умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится верное числовое равенство.
Другими словами, если множители не равны нулю, то и произведение не равно нулю.
если a ≠ 0 и b ≠ 0, то ab ≠ 0.
Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.
если ab = 0, то a = 0 или b = 0.
ТОЖДЕСТВА
Пусть A и B – выражения. Равенство A = B называется тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при любых числовых переменных, для которых оба выражения A и B определены (т.е. имеют смысл). Если A = B – тождества, то выражения A и называются тождественно равными. Преобразование одного выражения в другое, тождественно равное ему равны ему, называется тождественным преобразованием.
Примеры тождественных преобразований: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя за скобки.
Доказательства тождеств проводят одним из способов:
1) Применяют тождественные преобразования к одной из частей равенства (обычно более сложно по виду), в результате которых получают другую часть.
2) Тождественными преобразованиями каждую часть равенства (по очереди приводят к одному и тому же выражению).
3) Применяют тождественные преобразования к разности левой и правой частей равенства, т.е. к выражению А-В. Если равенство А=В действительно тождество, то в результате преобразований получится нуль.
УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
Равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной. Переменную в уравнении называют также неизвестным. Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем или решением уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни или докозать что их нет.
Два уравнения называются равносильными если каждый корень первого уравнения является корнем второго и наоборот – каждый корень второго уравнения является корнем первого. Равносильными считаются уравнения, которые не имеют корней.
СВОЙСТВО 1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
СВОЙСТВО 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля, то получится уравнение равносильное данному.
Линейным уравнением с одним неизвестным называются уравнения вида ах=b, где а и b – числа, х – неизвестное.
